En Büyük Asal Sayı Kaçtır?

Asal sayılar matematikte senelerce uğraşılan bir konu olmuştur. Biraz araştırıp nedir, ne işe yarar diye öğrenmek isterseniz, bir şifreleme bilimi olan kriptoloji bilimine rastlayacaksınız. Asal sayıların en çok kullanıldığı yer de şifreleme alanları zaten.

Bankalar, askeriye gibi bir çok yerde bilginin gizliliği açısından kriptoloji bilimine ihtiyaç duyulur. Şifreleme 3 çeşit algoritmayla yapılır. Şifreleme, anahtarlama ve çözümleme gibi. Şifreleme çeşitlerine girmeyeceğim ama araştırmak isteyenler, içlerinden en etkili olanı RSA şifrelemeye bakabilir. RSA şifreleme, çok büyük tam sayıları çarpanlarına ayırmanın algoritmik zorluğuna dayanıyor. Asal sayılar kullanılarak da daha güvenli bir yapı oluşturulmuştur.

Artık birçoğumuz internetten alışveriş yapıyor ve alışveriş sitelerinin bir köşesinde SSL yazısına rastlamıştır. Peki bu nedir? Açılımı "Güvenli Giriş Katmanı" demektir. Biz sitelerde alışveriş yaparken server ile internet tarayıcımız arasındaki iletişimi şifreleyip güvenliğimizi sağlar. Yani bilgilerimiz dışarıdan bakan biri için anlamsız hale dönüştürülür. Ama maalesef her ortamda istenildiğinde bilgilerimiz çalınabilir. Sadece bu bilgilerin hackerlar tarafından bulunması zorlaştırılır. Şifrelemede asal sayıların kullanılma amacı da oluşturulma yapısı gereği bu gibi şifreli bilgilerin çözülmesini zorlaştırmaktır.

Güvenlik ne kadar gelişirse bilgiyi çalmakta o kadar zorlaşıyor. Bu da en büyük asal sayıya dayanıyor. Eğer en büyük asal sayıları bulup bunlarla şifreleme yaparsak, tabi ki çözmesi imkansız hale gelecektir. En büyük asal sayıyı bulmak için bilgisayarınızdan bunun için kod yazıp deneyebilirsiniz. Ben de bunun için bilgisayardan program yapıp bulmayı denedim. İnsanın ilk aklına gelen şey sayıları tek tek bölüp denemektir.

Mesela 100 sayısının asal olup olmadığını anlamak için 1 ve kendisi dışındaki sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir. Çünkü asal sayı buna deniyor. Eğer 1'den kendisine kadar olan herhangi bir sayıya bölünüyorsa asal değil deriz. Fakat bir milyon basamaklı sayının asal olup olmadığını bulmak o kadar da kolay bir şey değil. (Dikkat! Sayı olarak bir milyon demedim, bir milyon basamaklı sayı :D) Çünkü bilgisayar tek tek o sayıya kadar olan bütün sayıları deneyecek. Bu da çok çok uzun sürecek bir iştir. En büyük asal sayının 17.425.170 basamaklı olduğunu öğrendiğimde bütün umudum gitti. Çünkü bunu, kurdukları 360 bin işlemciye sahip, saniyede 150 trilyon işlem yapan bilgisayar ağıyla yapmışlar. Benim bilgisayar saniyede kim bilir kaç işlem yapıyor :) Bulunan bu asal sayı Mersenne Primes sayılarının 48.'sidir. Missouri Üniversitesi'nden Dr. Cooper tarafından keşfedilmiştir.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için o sayıya kadarki bütün sayıları denememize gerek yok aslında. Daha çabuk sonuca ulaşmak için birçok algoritma deneyebiliriz. Bir iki yönteminden bahsedeyim. Eğer sayı 2 ye bölünmüyor ise 2'nin katlarına da asla bölünmez. 101 sayısına bakacak olursak. 2 ye bölünmüyor, yani 4, 6, 8, 10, 12 gibi sayılara bakmaya gerek yoktur. Bu bize zamandan yarı yarıya tasarruf sağlar. 2 ve 3'e bölünüp bölünmemesini sınayarak yaparsak da daha kazançlı olacak gibi. Son olarak sayının karaköküne kadar olan sayılara bakarak asallığı test edebiliriz. Ör: 124 sayısı için 12'ye kadarki sayılara bakmak yeterlidir. Eğer bu sayılardan herhangi birine bölünüyorsa asal değildir diyebiliriz.

Bütün asal sayıları sırasıyla veren bir formül henüz geliştirilememiştir.