Orta okul yıllarım da her öğrenci gibi ben de matematik denklemleri ile istemesem de tanışmak zorunda kalmıştım. Bu denklemler genelde 2. dereceden denklemler ve 2 bilinmeyenli idi. Benim ilk olarak bahsedeceğim denklemler ise 1. dereceden denklemler. Şimdi bu basit denklemlerle bir tane örnek yapıp hafızalarınızdan silinen konuları tekrar hatırlatmak ve yazacağım konuyu anlamanızı sağlamak istiyorum.
Tam sayılar kümesinde x + y = 5 ise bu denklemdeki x ve y değerleri sonsuz tanedir. Çünkü, x, y ikilisi 2'ye 3, 1'e 4 veya 100'e (-95) ikilileri olabilir. Bir denklem daha yazarsak sonsuz çözümün oluşmasını kısıtlayabiliriz. Yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından az olursa olmaz.
Sorumuz şöyle olsun. x + y = 5 ve 6x + y = 20 'dir. Şimdi, buradaki x ve y değerlerini bulabilmemiz için iki denklemi ortak çözmemiz gerekir. İki denklem ve iki bilinmeyen olduğuna göre artık x ve y'nin tek bir değeri olmalı, ilk örnekteki gibi sonsuz değerler çıkmayacaktır.
Çözüm:
Peki bu denklemler 3 ya da daha çok bilinmeyenli olsaydı nasıl çözebilirdik?
1. Yöntem : Eşelon( Echolon) Matris Formu veya Elemanter Satır İşlemleri
Bu yöntemde matrislere ihtiyacımız olacak ve matrise bilinmeyen değerlerin katsayılarını yerleştireceğiz. Sonra satır işlemlerimizi yapacağız. Şimdi adım adım denklem sistemimizi çözelim.
Örnek:
Amacımız, yerleştirdiğimiz x, y, z katsayılı matrisi birim matrise çevirmeye çalışmak olacaktır.
NOT: Birim matrise çevirme işlemin de her türlü satır işlemlerini yapabilirsiniz. İster 2. satır ile 1. satırı toplayın, isterseniz de 2. satırla 3. satırı toplayın ya da satırları birbirleriyle yer değiştirin, birim matrisi bulduğunuz müddetçe sonuç değişmeyecektir.
Matrisi hazırlama
Birinci, ikinci ve üçüncü denklemlerdeki katsayıları matrise yerleştirdik.
1. Adım
(1 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
1. satırı eksi ile çarpıp 2. satır ve 3. satır ile topladık.
2. Adım
(2 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
2. satırı eksi ile çarpıp 1. satıra ekledik. Sonra 2. satırı (-2) ile çarpıp 3. satıra ekledik ve 3. satırı (-1) ile çarptık.
3. Adım
(3 numaralı matriste yapılan işlemler!!!)
3. satırı (-2) ile çarpıp 2. satıra ekledik. Sonra 3. satırı 1. satıra ekledik.
Bulduğumuz x,y,z değerlerini verilen 3 denklemden seçtiğiniz birine koyarak sağlama yapabilirsiniz.
2. Yöntem : Cramer Kuralı
Cramer kuralı 1. yönteme göre daha basit bir yöntemdir. Verilen katsayılar matrisimizin determinantına detA deriz. Ayrıca detX, detY ve detZ'yi hesaplarız. Mesela detX'i hesaplarken 1. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır ve x = detX / detA olur. detY içinde 2. sütun yerine çözüm elemanları yerleştirilip determinant hesaplanır. Kaç bilinmeyen varsa bu şekilde uzayıp gider.
Şimdi aynı örneğimizi birde bu yöntemle çözelim. Resimlerden ne yapmaya çalıştığımı anlayabileceğinizi düşünüyorum. Resimle daha açıklayıcı olur umarım.
Zamanında Mimar Sinan'ın Selimiye Camii'nin kubbesini o genişliğe oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi matematiğin bilinen 4 ana işleminden farklı beşinci bir işlem yaratarak çözdüğü söylenir. Bu bir söylenti olabilir, fakat konuştuğumuz kişi Mimar Sinan..
2 Bilinmeyenli Denklemin - Elemanter Satır İşlemleriyle Çözümü
3 Yorumlar
Det A=0 olduğunda, formüle göre değerler tanımsız diyebiliriz. Oluşturduğum bu örnek incelenecek olursa;
YanıtlaSil2x + y + z = 2,
5x + 2y + 2z = 7,
x + 3y + 3z = 5
Bu denklemlerin çözümünde detA = 0 çıkar ve bundan dolayı x değeri tanımsız diyebiliriz. Zaten denklemler de y ve z'leri götürüp x'i yalnız bıraktığımız da x'in tanımsız olduğunu göreceğiz. Ama şöyle bir örnekte ise;
x + y + z = 3,
x + 3y + 3z = 7,
x + 4y + 4z = 9 olsun.
Yukarıdaki örnekte de detA = 0 çıkar. Fakat x=1, y=1 ve z=1 değerleri denklemleri sağlar. Yani değerler tanımsız olmaz. Bu örnekteki durumlar istisna olarak mı alınıyor orasına maalesef bir şey diyemeyeceğim.
Merhaba. Ben Dert Anası bloğunun sahibi Gülhan. Takibinize karşılık, geri takip için geldim. Siz burada bayağı ciddi konular hakkında paylaşımlar yapıyorsunuz. Ben hayatım boyunca bir sözelci ve edebiyatçı olarak bu konuları hiç anlayamadım. :) Sizden öğrenecek çok şeyimiz var anlaşılan. :)
YanıtlaSilMerhaba Gülhan hanım. Takibiniz için teşekkür ederim.:) Estağfurullah, bildiklerimi aktarmaya çalışıyorum. Ama matematik her zaman ciddi bir konu olmuştur. Ben de bir sayısalcı olarak maalesef sözel konularda bir türlü yıldızımı barıştıramadım. Bilgi alışverişi yapmaktan memnuniyet duyarım.:)
SilUyuyan Bir Adama Sadece Rüyalar Gelir..